二、祖暅完善牟合方蓋

無奈只好留待有能之士圖謀解決的方法，而賢能之士要在劉徽后二百多年才出現(xiàn)，便是中國偉大數(shù)學(xué)家袓沖之及他的兒子祖暅，他們承襲了劉徽的想法，利用“牟合方蓋”徹底地解決了球體體積公式的問題。

祖暅沿用了劉徽的思想，利用劉徽“牟合方蓋”的理論去進(jìn)行體積計(jì)算，他的方法是將原來的“牟合方蓋”平均分為八份，取它的八分之一來研究。等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等。祖暅應(yīng)用這個(gè)原理，解決了劉徽尚未解決的球體積公式。

雖然本球體體積公式的出現(xiàn)比歐洲阿基米德的公式晚些，但由于方法以至推導(dǎo)都是由劉徽及祖氏父子自行創(chuàng)出，是一項(xiàng)杰出的成就?，F(xiàn)在一般認(rèn)為是由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利首先引用，稱為卡瓦列利原理，但事實(shí)上祖氏父子比他早一千年就發(fā)現(xiàn)并使用了這個(gè)原理，故又稱“祖暅原理”。

祖暅原理是關(guān)于球體體積的計(jì)算方法，他運(yùn)用祖暅原理和由他創(chuàng)造的開立圓術(shù)，發(fā)展了他父親的研究成果，巧妙地證得球的體積公式，這是祖暅一生最有代表性的發(fā)現(xiàn)。祖暅還有不少其他科學(xué)發(fā)現(xiàn)，例如肯定北極星并非真正在北天極，而要偏離一度多等等。算得這些結(jié)果，同他豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)是分不開的。